Ребенок латвийских иммигрантов, Норман вырос в лондонском Ист-Энде, где мать купила ему его первую гитару в возрасте 16 лет.
Он продолжал сочинять музыку для шоу Вест-Энда, таких как Expresso Bongo и Irma La Douce, прежде чем переключиться на кино.
Тема Бонда, заказанная для фильма «Доктор Ноу» 1962 года, использовалась на протяжении всего сериала.
Продюсер Бонда Кэмби Брокколи попросил Нормана написать музыку к первому фильму, будучи впечатленным его фоновым музыкальным резюме.
Для главной темы композитор стряхнул пыль с одной из своих ранних композиций - Bad Sign Good Sign из заброшенной постановки «Дом для мистера Бисваса» В. С. Найпола - и переписал ее, имея в виду учтивого шпиона.
После переключения основного риффа с ситара на электрогитару Норман понял, что уловил суть агента 007.
"Его сексуальность, его тайна, его жестокость - все это в нескольких нотах." он вспоминает позже.
Норман также написал «Под манговым деревом», который сопровождает знаменитую пляжную сцену доктора Ноу с Урсулой Андресс и Шоном Коннери.
Джон Барри классно аранжировал тему Бонда, заставив некоторых людей предположить, что он написал ее, к большому огорчению Нормана. В 2001 году он подал в суд на The Sunday Times из-за статьи, в которой говорилось, что он не сочинял знаменитую гитарную струну, и ему была присуждена компенсация за клевету в размере 30 000 фунтов стерлингов.
В разнообразной карьере Норман также пел с биг-бэндами, а также появлялся в развлекательных шоу вместе с Гарри Секомбом, Питером Селлерсом, Спайком Миллиганом и Томми Купером.
Он также написал музыку к фильму Хаммера «Два лица доктора Хаммера». (1976).
Нормана пришлось уговорить написать сценарий для Бонда в первую очередь потому, что он был занят двумя другими сценическими проектами.